Равносильности третьей группы показываю,что алгебра логики обладает коммутативными и ассоциативными законами относительно конъюнкции и дизъюнкции и




Скачать 26.85 Kb.
НазваниеРавносильности третьей группы показываю,что алгебра логики обладает коммутативными и ассоциативными законами относительно конъюнкции и дизъюнкции и
Дата публикации30.03.2013
Размер26.85 Kb.
ТипЗакон
odtdocs.ru > Математика > Закон
Алгебра Буля.
Равносильности третьей группы показываю,что алгебра логики обладает коммутативными и ассоциативными законами относительно конъюнкции и дизъюнкции и дистрибутивным законом конъюнкции относительно дизъюнкции. Все они имеют место в алгебре чисел,поэтому на формулами алгебры логики можно производить все операции,которые справедливы в алгебре чисел. Кроме этого,в алгебре логики имеется ряд равносильностей(законов) поглощения, Де Моргана,и так далее. Эта особенность приводит к следующему обобщению:

Рассмотрим некоторое непустое множество М элементов любой природы,в котором определены отношения равенства и три операции:+,-,* . Пусть эти отношения подчиняются следующим законам/аксиомам:

1а) 1б)

2а) 2б)

3а) 3б) ФОРМУЛЫ С ТЕТРАДКИ

4а) 4б)

5)

6а) 6б)

7а) 7б)
Такое множество называется Булевой алгеброй.

Если под элементами множества М понимать высказывания,под операциями +,-,* понимать соответственно v,-,*,а знак равенства заменить на знак равносильностями, то как следует из равносильностей, все аксиомы булевой алгебры выполняются для алгебры высказываний. В тех случаях,когда для некоторой системы аксиом удается подобрать объекты и отношения между ними так,что все аксиомы выполняются,то считается,что найдена интерпретация ,построена модель для данной системы аксиом => алгебра логики является моделью булевой алгебры.

Алгебра Буля имеет и другие интерпретации , например,алгебра множеств.

^ Алгебра множеств.

Алгебра множеств возникла в конце 19 века в связи с необходимостью обоснования математики.

Первые серьёзные работы по алгебре множеств принадлежат Кантору. Множество является первичным понятием, которому определению не подлежит, но дадим его описание.

Множество-собрание,совокупность объектов,объединенных по некоторому признаку. Множество считается заданным,если указан признак,по которому относительно любого объекта можно сказать:входит ли этот объект в множество или нет.

Пример:множество чисел,алфавит,множество студентов и так далее.

Объекты,входящие в множество,называются элементами множества.Множества обозначаются заглавными буквами латинского алфавита,а элементы строчными.

хϵА – элемент х принадлежит множеству А.

А={x}
Если можно выписать все элементы множества,то они выписываются в фигурных скобках:

М={а,b,c}

Множество,которое содержит конечное число элементов,называется конечным. К числу конечных множеств относится и пустое множество(множество не содержащее элементов). Считается,что множество одно.

Существуют так же и бесконечные множества:множества натуральных и рациональных чисел.

Рассмотрим множество А,и если из этого множества можно выделить часть элементов по какому-либо признаку,которое образует множество В,то говорят,что множество В содержится в мн-ве А.

Из определения подмножества множества можно сказать,что оно содержится в любом множестве. Любое множество содержится само в себе.

^ Равенство множеств.

Определение:если имеются два множества А и В и имеют места включения (А ᴄ В,В с А)*,то говорят,что множества А и В равны между собой и А=В.

Равенство 2х множеств означает полное их совпадение,и из определения равенства множеств следует,что для доказательства данного равенства требуется доказать 2 включения *.

Рассмотрим операции над множествами:

  1. S=AᴗB – объединение 2х множеств.Объединением 2х множеств А и В называется новое множество S,состоящее из всех элементов обоих множеств,причем одинаковые элементы учитываются 1 раз. Совершенно аналогично определяем объединение любого произвольного кол-ва множеств.

Если А с В , то АᴗВ = В. АᴗА=А.Аᴗᴓ=А.

  1. В=А\В –разность множеств. Разностью двух множеств А и В называется множество в,содержащее те элементы множества,которые не являются элементами множества В,при этом множество В может не содержаться в множестве А. Очевидно,что А\А=ᴓ,А\ᴓ=А.

  2. Р=АᴒВ-пересечение множеств. Пересечением 2х множеств А и В называется новое множество Р,состоящее из всех общих элементов множеств А и В.



//При работе с множествами «с» означает принадлежность!

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

«Логические операции и выражения» Алгебра логики Высказывание
Алгебра логики это наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые выполняются не только над числами, на и над...

Рабочая программа по математике
«Алгебра», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрия», «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики»,...

Глоссарий на тему
Алгебра логики-это наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые выполняются не только над числами, на и над...

«Руководство по эксплуатации» иизучите
«Руководство по эксплуатации» и изучите обратную бесскобочную логику вычислений. Ваша «Электроника» обладает вычислительными возможностями,...

Тематическое планирование  Алгебра  8  класс
Программа: Бурмистрова Т. А. Алгебра 7 9 классы. Программы общеобразовательных учреждений. М., «Просвещение», 2009

Тематическое планирование  Алгебра  7  класс
Программа: Бурмистрова Т. А. Алгебра 7 9 классы. Программы общеобразовательных учреждений. М., «Просвещение», 2009

Рабочая программа по алгебре в 7 классе составлена на основе Федерального...
«Алгебра. 7-9 классы», авторов Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюка, К. И. Нешкова, С. Б. Суворовой (составитель Т. А. Бурмистрова), Москва,...

О тцы и дети
Но дети редко обсуждают проблему наркотиков с родителями. Среди них существует некий «обет молчания» относительно всего, что составляет...

Название группы происходит от древнего демона, олицитворяющего самые ужасные черты человека
Группа Aesma Daeva Начинает свою историю в США в относительно недалеком 1998 году

Постмодернизм был в 20 веке, то есть относительно недавно. Многие...
Все эти вопросы ещё не имеют ответов. Различные мнения учёных на этот счёт – вот всё, что у нас есть

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
odtdocs.ru
Главная страница