Решение алгебраических и трансцендентных уравнений




НазваниеРешение алгебраических и трансцендентных уравнений
страница1/27
Дата публикации20.06.2013
Размер2.1 Mb.
ТипРешение
odtdocs.ru > Математика > Решение
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   27


Оглавление






  • РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

  • Постановка задачи и этапы решения.


При решении алгебраических и трансцендентных уравнений, встречающихся на практике, очень редко удается найти точное решение. Поэтому приходится применять различные приближенные способы определения корней. В общей постановке задачи обычно требуют непрерывность функции f(x), корни которой ищутся с заданной точностью. Решение при этом разбивается на два этапа:

1.ЛОКАЛИЗАЦИЯ корней, т.е. выделение непересекающихся отрезков, каждый из которых содержит по одному корню.

2.УТОЧНЕНИЕ корней, т.е. вычисление корня на каждом из отрезков с нужной точностью.

Первая часть задачи обычно решается либо с использованием примерного графика функции, либо с помощью исследования знака функции и, как правило, не включается в стандартный курс вычислительной математики.
  1. ^

    Пример локализации корней.


Приведем лишь один ПРИМЕР: определить количество и приближенное расположение корней уравнения sinX - 0.2X=0.

Для решения перепишем уравнение в виде sinX=0.2X. Поскольку значения функции y=sinX лежат между -1 и 1, то корни уравнения могут быть только на отрезке [-5,5]. Ясно, что один из корней - это X=0 . Если же на отрезке [-5,5] нарисовать графики функций y1(X)= sinX и y2(X)=0.2X, то сразу будет видно, что точки их пересечения (а это и есть корни нашего уравнения) расположены на отрезках [-3,-2] и [2,3].

Ответ: исходное уравнение имеет 3 корня: Х1=0, Х2[-3,-2] и Х3[2,3].

Упражнения :определить количество и месторасположение корней уравнений:

1.1 9 – Х2 - eх = 0

1.2 sin 2X – X2+6=0

1.3 1/(1+X2) - 0.1 X4 = 0

1.4 ln(2+X) - 0.4X3= 0

В дальнейшем мы будем считать, что уравнение f(X)=0 задано на отрезке [a,b], на котором расположен ровно один его корень, и исследовать решение второй части задачи - уточнение корней. По-видимому, эта задача является самой простой из всех вычислительных задач, встречающихся на практике. Существуют несколько хороших методов решения данной задачи.
  1. ^

    Метод половинного деления


(или метод вилки) хорошо знаком по доказательству теоремы о промежуточном значении в курсе математического анализа. Его суть заключается в построении последовательности вложенных отрезков, содержащих корень. При этом на каждом шаге очередной отрезок делится пополам и в качестве следующего отрезка берется та половина, на которой значения функции в концах имеют разные знаки. Процесс продолжают до тех пор, пока длина очередного отрезка не станет меньше, чем величина 2. Тогда его середина и будет приближенным значением корня с точностью .

Алгоритм данного метода можно записать так:

1.Ввести данные (a, b, ).

2.Если нужная точность достигнута (| b - a | < 2) то иди к п.6

3.Возьми середину очередного отрезка ( С = ( a + b )/ 2 ).

4.Если значения функции в точках а и С одного знака (f(a)*f(C)>0), то в качестве следующего отрезка возьми правую половину (а=С), иначе левую (b=C).

5.Иди к п.2.

6.Напечатать ответ (( a + b ) / 2 )

Упражнение 1.5 Перевести данный алгоритм на один из языков программирования.
  1. ^

    Метод хорд и касательных


(или метод Ньютона, хотя принято называть методом Ньютона не комбинированный метод, а метод хорд) применяется только в том случае, когда . f'(X) и f''(X) не изменяют знака на отрезке [a,b], т.е.функция f(X) на отрезке [a,b] монотонна и не имеет точек перегиба.

Суть метода та же самая - построение последовательности вложенных отрезков, содержащих корень, однако отрезки строятся по-другому. На каждом шаге через концы дуги графика функции f(X) на очередном отрезке проводят хорду и из одного конца проводят касательную. Точки пересечения этих прямых с осью ОХ и образуют следующий отрезок. Процесс построения прекращают при выполнении того же условия (| b - a | < 2).

Для того, чтобы отрезки получались вложенными, нужно проводить ту касательную из конца, которая пересекает ось ОХ на отрезке [a,b]. Перебрав четыре возможных случая, легко увидеть, что касательную следует проводить из того конца, где знак функции совпадает со знаком второй производной. Также несложно заметить, что касательная проводится либо все время из правого, либо все время из левого конца. Будем считать для определенности , что этот конец - b .

Вопрос 1. Почему при описанном выше построении очередной полученный отрезок также содержит корень исходного уравнения? Обоснуйте этот факт геометрически, а если сможете, то докажите его строго.

Формулы, употребляемые в методе Ньютона, хорошо известны из аналитической геометрии:

Уравнение хорды, проходящей через точки (a,f(a)) и (b,f(b)): y = f(a)+(x-a)*(f(b)-f(a))/(b-a),

откуда точка пересечения с осью ОХ: Х= a - f(a) *(b-a)/(f(b)-f(a)).

Уравнение касательной, проходящей через точку (b,f(b)): -y=f(b)+f'(b)(x-b),

откуда точка пересечения с осью ОХ: Х= b - f(b)/f'(b).

При составлении алгоритма снова естественно использовать для концов отрезка только две переменные a и b и писать: a= a - f(a) *(b-a)/(f(b)-f(a)) и (1.1)

b= b - f(b)/f'(b) (1.2)

Однако, в этом случае важен порядок формул (1.1) и (1.2).

Вопрос 2:В каком порядке следует писать формулы (1) и (2) при составлении алгоритма метода Ньютона и почему ?

Упражнение 1.6.Составить алгоритм и программу на одном из языков для решения уравнений методом Ньютона.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   27

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Инструкция по использованию разработанного программного продукта...
Приближенные решения алгебраических и трансцендентных уравнений методом дихотомии 3

Лабораторная работа №2 Численное решение систем линейных алгебраических уравнений
В этой лабораторной работе были рассмотрены два метода решения систем линейных алгебраических уравнений метод исключения и итерационный...

Решение квадратных уравнений. Цель : Систематизация знаний и умений по теме
Задачи: Работа над формированием математических умений таких, как (решение квадратных уравнений по формуле; решение неполных уравнений;...

Конспект урока математики по теме «Решение уравнений различными способами»
Цель: восприятие и первичное знакомство со способами решения уравнений вида: х+а=в

План-конспект урока по теме «Решение тригонометрических уравнений»
Цель урока: Систематизировать методы решения тригонометрических уравнений с использованием икт технологии

Решение дифференциальных уравнений и систем в современных математических пакетах
Рассмотрены функции решения дифференциальных уравнений, используемые в различных математических пакетах. Приведены примеры использования...

Урок. (8 класс) Алгебра и информатика. Тема: «Решение квадратных...
Итак, ребята к нам в лабораторию поступил заказ написать программу решения квадратных уравнений, но прежде чем приступать к практической...

Концепция элементарных волн. 6 Общая характеристика уравнений. 7...
Скалярная форма уравнений Максвелла для произвольной среды в прямоугольной системе координат. 10

Лабораторная работа №1 Численное решение уравнений итерационными методами
Для этой цели воспользуемся Calc’ом. Зададим диапазон от х=-6 до х=3 с шагом 0,5

«Постоянный ток»
Написать по законам Кирхгофа систему уравнений для определения неизвестных токов и э д с в ветвях схемы (решать эту систему уравнений...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
odtdocs.ru
Главная страница