C уравнением Пелля связан известный исторический курьёз. Первые упоминания о таком уравнении были найдены в работах математиков Древней Греции и Древней Индии




Скачать 30.93 Kb.
НазваниеC уравнением Пелля связан известный исторический курьёз. Первые упоминания о таком уравнении были найдены в работах математиков Древней Греции и Древней Индии
Дата публикации07.04.2013
Размер30.93 Kb.
ТипДокументы
odtdocs.ru > Математика > Документы
Историческая справка.
C уравнением Пелля связан известный исторический курьёз. Первые упоминания о таком уравнении были найдены в работах математиков Древней Греции и Древней Индии. Общий способ решения уравнения — так называемый «циклический метод» — присутствует в работах индийского математика XII века Брахмагупты, впрочем, без доказательства, что этот метод всегда приводит к решению. В общем виде задачу сформулировал французский математик Пьер Ферма, поэтому во Франции данное уравнение называется «уравнением Ферма». Современное же название уравнения возникло благодаря Леонарду Эйлеру, ошибочно приписавшему их авторство Джону Пеллю, английскому математику, который этим уравнением никогда не занимался.

Изучением данной проблемы интересовался сам Архимед. По-видимому, он умел находить решения уравнения Пелля при любом a . Сохранился текст задачи, которую он послал в Александрию своему оппоненту Эратосфену. Она сводилась к уравнению Пелля с коэффициентом a = 4729494. Вот текст этой задачи:

Сколько у Солнца быков, найди для меня, чужестранец

(Ты их, подумав, считай, мудрости если не чужд),

Как на полях Тринакрийской Сицилии острова тучных

Их в четырёх стадах много когда-то паслось.

Цветом стада различались: блистало одно млечно-белым,

Темной морской волны стада другого был цвет.

Рыжим третье было, последнее пёстрым. И в каждом

Стаде была самцов множеством тяжкая мощь,

Всё же храня соразмерность такую: представь, чужестранец,

Белых быков в точности было равно

Тёмных быков половине и трети и полностью рыжим;

Тёмных число быков четверти было равно

Пёстрых с прибавленной пятой и также полностью рыжим;

Пёстрой же шерсти быков так созерцай число:

Части шестой и седьмой от стада быков серебристых

Также и рыжим всем ты их число поравняй.

В тех же стадах коров было столько: число белошёрстных

В точности было равно тёмного стада всего

Части четвёртой и третьей, коль сложишь ты обе их вместе;

Тёмных число же коров части четвёртой опять

Пёстрого стада равнялось, кол пятую долю добавишь

И туда же быков в общее стадо причтёшь.

Те же, чья пёстрая шерсть, равночисленным множеством были

Рыжего стада частям пятым и с нею шестой.

Рыжих коров же считалось количество равным полтрети

Белого стада всего с частию взятой седьмой.

Сколько у Солнца быков, чужестранец, коль точно ты скажешь,

Нам раздельно назвав тучных быков число,

Так же раздельно коров, сколько каждого цвета их было,

Не назовёт хоть никто в числах невеждой тебя,

Всё ж к мудрецам причислен не будешь, учти же, пожалуй,

Свойства такие ещё Солнца быков числа.

Если быков среброшерстых ты с тёмными вместе смешаешь

Так, чтобы тесно они встали бы в ширь и в длину

Мерою равной, тогда на обширных полях Сицилийских

Плотным квадратом они площадь большую займут,

Если же рыжих и пёстрых в одно смешаешь ты стадо,

Лесенкой станут они, счёт с единицы начав,

Так что фигуру они треугольную нам образуют;

Цвета иного быков нам нет нужды добавлять.

Если ты это найдёшь, чужестранец, умом пораскинув,

И сможешь точно назвать каждого стада число,

То уходи, возгордившись победой, и будет считаться,

 Что в этой мудрости ты всё до конца превзошёл.

 

Переведём условия на язык алгебры. Если X,Y,Z,T означают соответственно числа белых, чёрных, рыжих и пёстрых быков, а x,y,z,t – числа коров того же цвета, то приходим к следующей системе:

X=(1/2 + 1/3)Y + Z;

Y=(1/4 + 1/5)T + Z;

T=(1/6 + 1/7)X + Z;

x=(1/4+1/3)(Y+y)

y=(1/4 + 1/5)(T+t)

t=(1/5+1/6)(Z+z)

z=(1/6 + 1/7)(X+x)

X+Y = □

Z+T = ∆

Итак, имеем 7 уравнений с 8 неизвестными, причём эти неизвестные должны удовлетворять двум последним условиям: число X+Y – квадратное, а Z+T – треугольное. После довольно громоздких преобразований эта система приводится к уравнению Пелля с коэффициентом а=4729494. А окончательный ответ для общего числа быков и вовсе неправдоподобен: это число порядка 7766 * 10206541.

Возможно, Архимед сочинил эту задачу в период своего увлечения большими числами, когда писал сочинение числа песчинок во Вселенной. Но тому числу было далеко до численности стада быков Солнца. Чтобы выписать все восемь чисел, составляющих ответ задачи, понадобилось бы 660 страниц при условии,  что на каждой странице записано 2500 цифр. Архимед, несомненно, знал о том, что посылает своему оппоненту фактически неразрешимую задачу.

Дальнейшее изучение было произведено в Индии, где впервые был сформулирован метод (индийский) нахождения наименьшего решения для любого коэффициента. Позже в Англии Броункнером был разработан другой метод (английский), аналогичный предыдущему, но более удобный. Но у известного математика Леонарда Эйлера осталось впечатление, что решение принадлежит другому английскому математику Пеллю, поэтому он и назвал это уравнение уравнением Пелля.

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Олимпийские игры Древней Греции представляли собой религиозный и...
Олимпийские игры Древней Греции представляли собой религиозный и спортивный праздник, проводившийся в Олимпии. Сведения о происхождении...

О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г до н э. в Древней...
О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г до н э в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море...

Самые необычные монеты России
Греции, Риме и Китае. До наших дней сохранились монеты изготовленные в Древней Греции в четвёртом веке до наей эры. Так же в коллекциях...

Конспект урока Отражение в мифах Древней Греции мировосприятия, идеалов людей
Оборудование: мультимедийный компьютер, мифологический словарь, учебник «Литература. 5 класс» под редакцией Б. А. Ланина

Рождество в Греции
Вы посетите храм Св. Димитрия, покровителя и защитника города, увидите археологические раскопки древней Агоры, арку Галерия и крепостные...

Первые опыты математиков, инженеров, зарождение Машинного Перевода
Однако у аппаратных средств были и недостатки: малый объем памяти, медленный доступ к информации

1. Древнегреческий этап античной культуры Материальная культура Древней Греции
Чтобы понять значение и масштабы всего происшедшего в Средиземноморье в древний период истории, следует представить развитие античного...

Тема: Вязание шапки и шарфика
Вязание – один из самых старинных видов декоративно-прикладного искусства, оно существует более трёх тысяч лет. Вязаные вещи были...

Философия древней индии
Сансара – учение о переселении душ и есть у него механизм – бхавачкара. Всё находится в вечном круговороте, всё живое имеет и тело...

Здоровьесберегающие технологии на уроках музыки
Уроки музыки неразрывно связаны со здоровьесберегающими технологиями. О том, что определенные мелодии способны влиять на душевное...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
odtdocs.ru
Главная страница