Основания системы счисления




Скачать 101.53 Kb.
НазваниеОснования системы счисления
Дата публикации20.03.2013
Размер101.53 Kb.
ТипДокументы
odtdocs.ru > Информатика > Документы
Глоссарий

Учебная практика

«Волгоградский государственный социально-педагогический университет»



Волгоград 2012
Список терминов
Непозиционные системы счисления

Основания системы счисления




Правила перевода чисел из одной системы в другую

Позиционные системы счисления

Системы счисления











Непозиционная система счисления – система, в которой символы, обозначающие то или иное количество, не меняют своего значения в зависимости от местоположения (позиции) в изображении числа.

Непозиционной системой счисления является самая простая система с одним символом (палочкой). Для изображения какого-либо числа в этой системе надо записать количество палочек, равное данному числу. Например, запись числа 12 в такой системе счисления будет иметь вид: IIIIIIIIIIII. Эта система неэффективна, так как форма записи очень громоздка.

К непозиционной системе счисления относится и римская, символы алфавита которой и обозначаемое ими количество представлены в таблице.

Римские цифры

I

V

X

L

С

D

М

Значение (обозначаемое количество)

1

5

10

50

100

500

1000

Запись чисел в этой системе счисления осуществляется по следующим правилам:

1) если цифра слева меньше, чем цифра справа, то левая цифра вычитается из правой (IV: 1 < 5, следовательно, 5-1=4, XL: 10 < 50, следовательно, 50 - 10 = 40);

2) если цифра справа меньше или равна цифре слева, то эти цифры складываются (VI: 5 + 1 = 6, VIII: 5 + 1 + 1 + 1 = 8, XX: 10+ 10 = 20).

Так, число 1964 в римской системе счисления имеет вид MCMLXIV (М - 1000, СМ - 900, LX - 60, IV - 4), здесь «девятьсот» получается посредством вычитания из «тысячи» числа «сто», «шестьдесят» – посредством сложения «пятидесяти» и «десяти», «четыре» – посредством вычитания из «пяти» «единицы».

В общем случае непозиционные системы счисления характеризуются сложными способами записи чисел и правилами выполнения арифметических операций. В настоящее время все наиболее распространенные системы счисления относятся к разряду позиционных.

^ Вернуться к списку терминов

Основание системы счисления- это количество цифр в алфавите.

Наименьшее возможное основание позиционной системы счисления равно . Такая система называется двоичной.

Вернуться к списку терминов

Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую

Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.

1. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:



При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:

Таблица 4. Степени числа 2

n (степень)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



1

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

Пример . Число перевести в десятичную систему счисления.



2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:



При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:

Таблица 5. Степени числа 8

n (степень)

0

1

2

3

4

5

6



1

8

64

512

4096

32768

262144

Пример . Число перевести в десятичную систему счисления.



3. Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:



При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:

Таблица 6. Степени числа 16

n (степень)

0

1

2

3

4

5

6



1

16

256

4096

65536

1048576

16777216

Пример . Число перевести в десятичную систему счисления.



4. Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.

 



5. Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.

 



6. Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.





7. Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).

Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.



8. Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).

Пример. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.



9. Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой.

Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.



^ 10. Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.

Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.



^ 11. При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.

Вернуться к списку терминов


Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число. Любая позиционная система характеризуется своим основанием. Основание позиционной системы счисления - это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание можно принять любое натуральное число - два, три, четыре, шестнадцать и т.д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.

Десятичная система счисления.

Пришла в Европу из Индии, где она появилась не позднее VI века н.э. В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). В десятичной системе счисления особую роль играют число 10 и его степени: 10, 100, 1000 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа - число десятков, следующая - число сотен и т.д. Позиции цифр в записи числа называют его разрядами. В десятичной системе счисления вес каждого разряда в 10 раз больше веса предыдущего. Всякое число в десятичной системе счисления можно представить в виде суммы различных целых степеней десяти с соответствующими коэффициентами аi (0-9), взятыми из алфавита данной системы счисления. Например: 245,83 = 2 * 102 + 4 * 101 + 5 * 100 + 8 * 10-1 + 3 * 10-2. Любое десятичное позиционное число N можно представить с помощью целых степеней десяти, взятых с соответствующими коэффициентами, т.е.

N10 = am * 10m + am-1 * 10m-1 + …+ a1*10+ +a0 * 100 + a-1 * 10-1 +…+ a-n * 10-n.

Двоичная система счисления.

В этой системе всего две цифры - 0 и 1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра - число двоек, следующая - число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число - представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически. Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются двухпозиционные элементы, например, электромагнитное реле, транзисторный ключ.

Восьмеричная система счисления.

В этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшем разряде, означает - как и в десятичном числе - просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем 64 и т.д. Число 100 (восьмеричное) есть не что иное, как 64 (десятичное). Чтобы перевести в двоичную систему, например, число 611 (восьмеричное), надо заменить каждую цифру эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр). Легко догадаться, что для перевода многозначного двоичного числа в восьмиричную систему нужно разбить его на триады справа налево и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой.

Шестнадцатиричная система счисления.

Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означат просто единицу. Та же цифра 1 в следующем - 16 (десятичное), в следующем - 256 (десятичное) и т.д. Цифра F, указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное). Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно производится аналогично тому, как это делается для восьмеричной системы.
Вернуться к списку терминов
Система счисления - это так называемая знаковая система, способ записи чисел с помощью знаков, именуемых цифрами.

Самой распространенной системой счисления в нашем мире является, конечно же, всем известная, десятичная система счисления (система с основанием 10). И не спроста - т.к. она имеет исторические корни. Одним из суждений является то, что наши предки использовали для счета пальцы рук, а их, как известно, десять. Я думаю, что вы все о ней конечно же слышали. Каждый день мы с ней сталкиваемся, т.к. практически все числовые записи, которые мы видим день ото дня, находятся именно в ней: цены в магазинах, номера страниц в любимой книге, практически весь курс арифметики и т.д. Так как эта система счисления десятичная, то, соответственно, в ней для записи чисел используется 10 знаков (цифр), а именно: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Самая младшая цифра - это 0, а самая старшая - это 9 и она всегда на единицу меньше, чем основание (10).




Самыми распространенными системами счисления в мире компьютеров являются двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы счисления.

Вернуться к списку терминов


Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Урок усвоения новых знаний. Тема: «История чисел и системы счисления»
Цель: познакомить учащихся с историей возникновения и развития систем счисления; указать на основные недостатки и преимущества непозиционных...

История развития систем счисления
Системы счисления различаются выбором узловых чисел и способами образования алгоритмических, а с появлением письменных обозначений...

Представление числовой информации с помощью систем счисления. Перевод...
...

Утверждаю Ректор университета
Целью лабораторной работы является: ознакомление с базовыми арифметическими командами процессора на примере решения задачи смены...

Системы счисления Автор: Цветкова Мария Олеговна 1 курс ис
К числу таких систем относится современная десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой...

«понятие о системах счисления»
Ознакомить учащихся с историей возникновения и развития сс. Дать представление о позиционных и непозиционных сс. Дать определение...

Урок по теме «Представление числовой информации с помощью систем счисления»
Формулировка Проблемы использование технологии «Корзина идей», понятие систем счисления

Нижние Ачалуки" Малгобекского района ри султыговой Т. Г.  Тема урока: "
Цели: повторить основные понятия, определения в различных системах счисления; указать и повторить наиболее сложные алгоритмы вычислительных...

План подготовки и проведения мероприятий, посвященных празднованию...
Концерты учащихся образовательных учреждений дополнительного образования, посвященные Дню города Дню основания Санкт-Петербурга (по...

Цифры и системы счисления автор: Энциклопедия кругосвет
«первый», равно как «два» и «второй», во многих языках не имеют между собой ничего общего, в то время как лежащие за пределами первобытного...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
odtdocs.ru
Главная страница